Całkowita masa mieszanki zużywanej tygodniowo do karmienia piskląt: 20 000 x 0,5 = 10 000 kg.
Limity związane z zawartością wapnia, białka i włókna w dawce pokarmowej są następujące:
0.38X
1
+ 0.001Х
2
+ 0.002Х
3
≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х
2
+ 0.50Х
3
≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х
2
+ 0.08Х
3
≤ 0.05 х 10 000.
Ostateczna postać matematycznego sformułowania problemu:
min
f(X) = 0,04 x
1
+ 0.15Х
2
+0,40Х
3
przy ograniczaniu
Х
1
+Х
2
+Х
3
= 10 000
0.38Х
1
+ 0.001Х
2
+ 0.002Х
3
≥ 80
0.09Х
2
+ 0.50Х
3
≥ 2200
0.02Х
2
+ 0.08Х
3
≤ 500
X
j
>
0, j = 1, 2, 3.
Przykład 1 . Istnieją dwa produkty P
1
i P
2
zawierający składnik odżywczy S
1
, S
2
, S
3
, S
4
(tłuszcze, białka, węglowodany, witaminy). Zawartość liczby jednostek odżywczych w jednostce każdego rodzaju produktu oraz wymagane minimum składników odżywczych podano w tabeli 2.
F = 3x
1
+ 4x
2
. (5)
Biorąc pod uwagę wymagane minimum składników odżywczych, skomponujmy system ograniczeń. Racja obejmuje (x
1
+ 2x
2
) jednostki składnika odżywczego S
1
, (3x
1
+ 2x
2
) jednostki składnika odżywczego S
2
, (2x
1
+ x
2
) jednostki składników odżywczych S
3
oraz (2x
1
+ 2x
2
) jednostki składnika odżywczego S
4
. Ponieważ zawartość składników odżywczych S
1
, S
2
, S
3
, S
4
w diecie powinna wynosić odpowiednio co najmniej 10, 8, 9, 11 jednostek, wówczas otrzymujemy układ nierówności ograniczających:
x
1
+2x
2
≥ 10 (6)
3x
1
+2x
2
≥ 8
2x
1
+x
2
≥ 9
2x
1
+2x
2
≥ 11
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
Zatem ekonomiczno-matematyczny model problemu: skomponować dzienną rację żywnościową , spełniającą układ ograniczeń (6), przy której funkcja (5) przyjmuje wartość minimalną.
Sformułujmy ten problem w sposób ogólny.
Oznaczamy przez x
j
(j = 1, 2,…, n) — liczba jednostek j-tego produktu w dziennej racji żywnościowej. W diecie stosuje się N rodzajów żywności. Każdy artykuł spożywczy zawiera m składników odżywczych w ilości nie mniejszej niż b
i
(i = 1,2,…,m) jednostek, a
ij
— jest liczbą jednostek odżywczych s
i
w jednej jednostce produktu j-tego gatunku. Wartość c
j
znana jest jednostka j-tej żywności. Konieczne jest stworzenie racji pokarmowej o niezbędnej wartości odżywczej przy minimalnym jej koszcie.
Model ekonomiczno-matematyczny będzie wyglądał tak:
(8)
Uwaga 1. Funkcję celu (7) oraz układ nierówności ograniczających można zapisać z wykorzystaniem znaku ∑ (sumy).
(10)
Uwaga 2. W problemie formułowania dawki pokarmowej (diety, mieszanki paszowej) można stosować ograniczenia nie tylko na wymagane minimum składników pokarmowych, ale także na minimalną masę całkowitą mieszanki.
Na przykład. Firma jest w stanie kupić n różnych surowców i przygotować różne rodzaje mieszanin (produktów). Każdy rodzaj surowca zawiera inną ilość składników odżywczych. Ustalono, że produkty muszą spełniać pewne minimalne wymagania pod względem żywieniowym (użyteczności). Konieczne jest określenie ilości każdego j-tego rodzaju surowca, który tworzy mieszankę o minimalnej wartości przy jednoczesnym spełnieniu wymagań dotyczących całkowitego spożycia mieszanki i jej wartości odżywczej.
Model ekonomiczno-matematyczny problemu będzie wyglądał tak:
,
przy ograniczeniach: na całkowite zużycie mieszanki
dla wartości odżywczej mieszanki
w sprawie nieujemności zmiennych
x
j
≥0, j=1,2,…n,
gdzie x
j
— to ilość j-tego surowca w mieszaninie;
n — liczba surowców;
m — liczba składników odżywczych;
a
ij
— to ilość i-tego składnika odżywczego zawarta w jednej jednostce j-tego typu surowca;
b
1
— to minimalna ilość i-tego składnika odżywczego zawarta w jednej jednostce mieszaniny;
c
j
— jest kosztem na jednostkę surowca j;
q to minimalna całkowita ilość mieszanki.
Przykład 3 . W fabrycznym laboratorium powstaje stop przeciwcierny (cyna babbitt), który musi zawierać: cynę nie mniej niż 15%, antymon nie mniej niż 15%, ołów około 70%. Istnieją cztery stopy, których skład procentowy i ceny przedstawiono w tabeli:
Elementy
Stop
1
2
3
4
Tin
12
20
12
20
Antymon
12
18
18
14
Lead
76
62
70
66
Cena za 1 kg
3,5
5,2
4,0
4,6
Oblicz liczbę pierwiastków dla każdego rodzaju stopu potrzebnych do wyprodukowania 1 kg mieszanki, która zapewni najniższy koszt.
Rozwiązanie
Zróbmy ekonomiczny i matematyczny model problemu.
Oznaczać przez
x
1
— ilość stopu 1, kg
x
2
— ilość stopu 2, kg
x
3
— ilość stopu 3, kg
x
4
— ilość stopu 4, kg
wykonanie ekonomiczno-matematycznego modelu problemu ukształtowania codziennej diety, która z jednej strony zawierałaby białka, tłuszcze i węglowodany w minimalnym stopniu zgodne z naukowo uzasadnionymi normami, a jednocześnie wymagałaby minimalnych wydatków;
Rozwiąż problem graficznie.
Stwierdzenie problemu: N składników to y1, y2, y3, y4. W wyniku zmieszania tych składników w proporcjach g
11
:g
12
:g
13
:g
14
, g
21
:g
22
:g
23
:g
24
, g
31
:g
32
:g
33
:g
34
i g
41
:g
42
:g
43
:g
44
otrzymuje mieszankę n odmian x1, x2, x3, x4. Jego cena sprzedaży wynosi odpowiednio s1, s2, s3, s4.
Ekonomiczny i matematyczny model problemu
Składniki
Odmiany
Wielkość zasobów
x1
x2
x3
x4
N1
g
11
/Σg
1i
g
21
/Σg
2i
g
31
/Σg
3i
g
41
/Σg
4i
y1
N2
g
12
/Σg
1i
g
22
/Σg
2i
g
32
/Σg
3i
g
42
/Σg
4i
y2
N3
g
13
/Σg
1i
g
23
/Σg
2i
g
33
/Σg
3i
g
43
/Σg
4i
y3
N4
g
14
/Σg
1i
g
24
/Σg
2i
g
34
/Σg
3i
g
44
/Σg
4i
y4
Cena
s1
s2
s3
s4
Przykład . Zakład produkuje 4 rodzaje półproduktów Bi w ilościach: B1 — 400 t, B2 — 250 t, B3 — 350 t i B4 — 100 t.
Mieszając te składniki otrzymujemy 3 rodzaje produktów Aj. Proporcje mieszanych półproduktów są następujące: dla A1 — 2:3:5:2, dla A2 — 3:1:2:1, dla A3 — 2:2:1:3. Koszt 1 tony produkcji Aj wynosi: A1 — 12 rubli, A2 — 10 rubli, A3 — 15 rubli.
